12th கணிதவியல் 1 மதிப்பெண் வினாக்கள் அத்தியாயம் 6 (வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்)

மேல்நிலை இரண்டாம் ஆண்டு

Mathematics

Applications of Vector Algebra : வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்

In English and Tamil

$\vec{a}$ மற்றும் $\vec{b}$ என்பன இணை வெக்டர்கள் எனில், $[\vec{a},\vec{c},\vec{b}]$ -ன் மதிப்பு
If $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are parallel vectors, then $[\vec{a},\vec{c},\vec{b}]$ is equal to

2 -1 1 0

$\vec{\beta }$ மற்றும் $\vec{\gamma }$ ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் $\vec{\alpha }$ அமைந்துள்ளது எனில்,
If a vector $\vec{\alpha }$ lies in the plane of $\vec{\beta }$ and $\vec{\gamma }$, then

$[\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }]=1$ $[\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }]=-1$ $[\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }]=0$ $[\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }]=2$

$\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{c}=\vec{c}.\vec{a}=0$ எனில், $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$ -ன் மதிப்பு
If $\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{c}=\vec{c}.\vec{a}=0$, then the value of $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$ is

$\left| \vec{a}\right|$ $\left| \vec{b}\right|$ $\left| \vec{c}\right|$ $\frac{1}{3}\left| \vec{a}\right|$ $\left| \vec{b}\right|$ $\left| \vec{c}\right|$ $1$ $-1$

$\vec{b}$ -க்கு செங்குத்தாகவும் $\vec{c}$ -க்கு இணையாகவும் உள்ள வெக்டர் $\vec{a}$ என்றவறுள்ள ஓரலகு வெக்டர்கள் $\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$ எனில்,$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$ -க்கு சமமானது
If $\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$ are three unit vectors such that $\vec{a}$ is perpendicular to $\vec{b}$, and is parallel to $\vec{c}$ then $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$ is equal to

$\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{c}$ $\overrightarrow{0}$

$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=1$ எனில், $\frac{\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})}{(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b}} + \frac{\overrightarrow{b}.(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})}{(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}} + \frac{\overrightarrow{c}.(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})}{(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{b}).\overrightarrow{a}}$ -ன் மதிப்பு
If $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=1$,then the value of $\frac{\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})}{(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b}} + \frac{\overrightarrow{b}.(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})}{(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}} + \frac{\overrightarrow{c}.(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})}{(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{b}).\overrightarrow{a}}$ is

1 -1 2 3

$\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}, \hat{j}+\pi \hat{k}$ என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்டது இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
The volume of the parallelepiped with its edges represented by the vectors $\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}, \hat{j}+\pi \hat{k}$ is

$\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{3}$ $\pi$ $\frac{\pi}{4}$

$\vec{a},\vec{b}$ என்பன $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}] = \frac{1}{4}$ எனுமாறுள்ள ஓரலகு வெக்டர்கள் எனில், $\overrightarrow{a}$ மற்றும் $\overrightarrow{b}$ ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
If $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are unit vectors such that $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}] = \frac{1}{4}$, then the angle between $\overrightarrow{a}$ and $\overrightarrow{b}$ is

$\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$

$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}, \vec{c}=\hat{i}$ மற்றும் $(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$ எனில், $\lambda + \mu$ -ன் மதிப்பு
If $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}, \vec{c}=\hat{i}$ and $(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$ then the value of $\lambda + \mu$ is

0 1 6 3

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ என்பன $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 3$ எனுமாறுள்ள ஒரு தளம் அமையா மூன்று பூச்சியமற்ற வெக்டர்கள் எனில், ${[\vec{a}\times \vec{b},\vec{b}\times \vec{c},\vec{c}\times \vec{a}]}^{2}$ -ன் மதிப்பு
If $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ are non-coplanar, non-zero vectors such that $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 3$ then ${[\vec{a}\times \vec{b},\vec{b}\times \vec{c},\vec{c}\times \vec{a}]}^{2}$ is equal to

81 9 27 18

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ என்பன $[\vec{a} \times \vec{b} \times \vec{c}] = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{\sqrt{2}}$ எனுமாறுள்ள ஒரு தளம் அமையா மூன்று ஓரலகு வெக்டர்கள் எனில், $\vec{a}$ மற்றும் $\vec{b}$ ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
If $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ are three non-coplanar unit vectors such that $[\vec{a} \times \vec{b} \times \vec{c}] = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{\sqrt{2}}$,then the angle between $\vec{a}$ and $\vec{b}$ is

$\frac{\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\frac{\pi}{4}$ $\pi$

$\vec{a}\times \vec{b},\vec{b}\times \vec{c},\vec{c}\times \vec{a}$ ஆகியவற்றை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு 8 கன அலகுகள் எனில், $(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{b}\times \vec{c}),(\vec{b}\times \vec{c})\times (\vec{c}\times \vec{a})$ மற்றும் $(\vec{c}\times \vec{a})\times (\vec{a}\times \vec{b})$ ஆகியவற்றை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
If the volume of the parallelepiped with $\vec{a}\times \vec{b},\vec{b}\times \vec{c},\vec{c}\times \vec{a}$ as coterminous edges is 8 cubic units, then the volume of the parallelepiped with $(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{b}\times \vec{c}),(\vec{b}\times \vec{c})\times (\vec{c}\times \vec{a})$ and $(\vec{c}\times \vec{a})\times (\vec{a}\times \vec{b})$ as coterminous edges is,

8 கன அலகுகள் ; 8 cubic units 512 கன அலகுகள் ; 512 cubic units 64 கன அலகுகள் ; 64 cubic units 24 கன அலகுகள் ; 24 cubic units

$\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ என்பன $(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec{0}$ எனுமாறுள்ள வெக்டர்கள் என்க. $\vec{a}, \vec{b}$ என்ற ஒரு ஜோடி வெக்டர்களாலும் மற்றும் $\vec{c}, \vec{d}$ என்ற ஒரு ஜோடி வெக்டர்களாலும் அமைக்கப்படும் தளங்கள் முறையே $P_{1}$ மற்றும் $P_{2}$ எனில், இத்தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
Consider the vectors $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ such that $(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec{0}$. Let $P_{1}$ and $P_{2}$ be the planes determined by the pairs of vectors, $\vec{a}, \vec{b}$ and $\vec{c}, \vec{d}$ respectively. Then the angle between $P_{1}$ and $P_{2}$ is

0° 45° 60° 90°

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ என்பன $\vec{b}.\vec{c} \neq 0$ மற்றும் $\vec{a}.\vec{b} \neq 0$ எனுமாறுள்ள மூன்று வெக்டர்கள் என்க. $\vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ எனில், $\vec{a}$ மற்றும் $\vec{c}$ என்பவை
If $\vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$,where $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ are any three vectors such that $\vec{b}.\vec{c} \neq 0$ and $\vec{a}.\vec{b} \neq 0$, then $\vec{a}$ and $\vec{c}$ are

செங்குத்தானவை ; perpendicular இணையானவை ; parallel $\frac{\pi}{3}$ என்ற கோணத்தை தாங்குபவை ; inclined at an angle $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{6}$ என்ற கோணத்தை தாங்குபவை ; inclined at an angle $\frac{\pi}{6}$

$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}, \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}, \vec{c} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ எனில், $\vec{a}$ -க்குச் செங்குத்தானதாகவும் $\vec{b}$ மற்றும் $\vec{c}$ என்ற வெக்டர்கள் உருவாக்கும் தளத்தில் அமைவதுமான வெக்டர்
If $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}, \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}, \vec{c} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$, then a vector perpendicular to $\vec{a}$ and lies in the plane containing $\vec{b}$ and $\vec{c}$ is

$-17\hat{i} + 21\hat{j} - 97\hat{k}$ $17\hat{i} + 21\hat{j} - 123\hat{k}$ $-17\hat{i} - 21\hat{j} + 97\hat{k}$ $-17\hat{i} - 21\hat{j} - 97\hat{k}$

$\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-2}, z = 2$ மற்றும் $\frac{x-1}{1} = \frac{2y+3}{3} = \frac{z+5}{2}$ என்ற கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
The angle between the lines $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-2}, z = 2$ and $\frac{x-1}{1} = \frac{2y+3}{3} = \frac{z+5}{2}$ is

$\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$

$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-5} = \frac{z+2}{2}$ என்ற கோடு $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$ என்ற தளத்தின் மீது இருந்தால், பின்னர் $(\alpha, \beta)$ என்பது
If the line $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-5} = \frac{z+2}{2}$ lies in the plane $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$, then $(\alpha, \beta)$ is

(-5, 5) (-6, 7) (5, -5) (6, -7)

$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ என்ற கோட்டிற்கும் $\vec{r}.(\hat{i} + \hat{j}) + 4 = 0$ என்ற தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம்
The angle between the line $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ and the plane $\vec{r}.(\hat{i} + \hat{j}) + 4 = 0$ is

0° 30° 45° 90°

$\vec{r} = (6\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + 4\hat{k})$ என்ற கோடு $\vec{r}.(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 3$ என்ற தளத்தை சந்திக்கும் புள்ளியின் அச்சுத்தூரங்கள்
The coordinates of the point where the line $\vec{r} = (6\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + 4\hat{k})$ meets the plane $\vec{r}.(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 3$ are

(2, 1, 0) (7, -1, -7) (1, 2, -6) (5, -1, 1)

ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து $3x - 6y + 2z + 7 = 0$ என்ற தளத்திற்கு உள்ள தொலைவு
Distance from the origin to the plane 3x − 6y + 2z + 7 = 0 is

0 1 2 3

$x + 2y + 3z + 7 = 0$ மற்றும் $2x + 4y + 6z + 7 = 0$ ஆகிய தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
The distance between the planes x + 2y + 3z + 7 = 0 and 2x + 4y + 6z + 7 = 0 is

$\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$ $\frac{7}{2}$ $\frac{\sqrt{7}}{2}$ $\frac{7}{2\sqrt{2}}$

ஒரு கோட்டின் திசைக்கொசைன்கள் $\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}$ எனில்,
If the direction cosines of a line are $\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}$ then

$c = \pm 3$ $c = \pm \sqrt{3}$ $c > 0$ $0 < c < 1$

$\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) + t(6\hat{j} - \hat{k})$ என்ற வெக்டர் சமன்பாடு குறிக்கும் நேர்க்கோட்டின் மீது உள்ள புள்ளிகள்
The vector equation $\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) + t(6\hat{j} - \hat{k})$ represents a straight line passing through the points

(0, 6, -1) மற்றும் (1, -2, -1) (0, 6, -1) மற்றும் (-1, -4, -2) (1, -2, -1) மற்றும் (1, 4, -2) (1, -2, -1) மற்றும் (0, -6, 1)

ஆதியிலிருந்து (1, 1, 1) என்ற புள்ளிக்கு உள்ள தொலைவானது $x + y + z + k = 0$ என்ற தளத்திலிருந்து அப்புள்ளிக்கு உள்ள தொலைவில் பாதி எனில், $k$ -ன் மதிப்புகள்
If the distance of the point (1,1,1) from the origin is half of its distance from the plane x + y + z + k = 0 , then the values of k are

$\pm 3$ $\pm 6$ -3, 9 3, -9

$\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}) = 3$ மற்றும் $\vec{r} \cdot (4\hat{i} + \hat{j} - \mu \hat{k}) = 5$ ஆகிய தளங்கள் இணை எனில், $\lambda$ மற்றும் $\mu$ -ன் மதிப்புகள்
If the planes $\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}) = 3$ and $\vec{r} \cdot (4\hat{i} + \hat{j} - \mu \hat{k}) = 5$ are parallel, then the value of $\lambda$ and $\mu$ are

$\frac{1}{2}, -2$ $-\frac{1}{2}, 2$ $-\frac{1}{2}, -2$ $\frac{1}{2}, 2$

ஆதியிலிருந்து $2x + 3y + \lambda z = 1, \lambda > 0$ என்ற தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் நீளம் $\frac{1}{5}$, எனில், $\lambda$ -ன் மதிப்பு
If the length of the perpendicular from the origin to the plane $2x + 3y + \lambda z = 1, \lambda > 0$ is $\frac{1}{5}$, then the value of $\lambda$ is

$2\sqrt{3}$ $3\sqrt{2}$ 0 1

Results