12th கணிதவியல் 1 மதிப்பெண் வினாக்கள் அத்தியாயம் 1( அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள்)

மேல்நிலை இரண்டாம் ஆண்டு

Mathematics

Applications of Matrices and Determinants : அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள்

In English & Tamil

| adj(adj A) |=| A|⁹ எனில், சதுர அணி A-யின் வரிசையானது
| adj(adj A) |=| A|⁹ then the order of the square matrix A is

3 4 2 5

A என்ற 3×3 பூச்சியமற்றக் கோவை அணிக்கு AA^T = A^T A மற்றும் B = A^-1A^T என்றவாறு இருப்பின், BB^T =
If A is a 3×3 non-singular matrix such that^T = A^T A and B = A^-1A^T then, BB^T =

A B I₃ B^T

$A=\begin{bmatrix}3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ , B = adj A மற்றும் C = 3A எனில், $\frac{\left|adj B \right|}{\left|C \right|}=$
If $A=\begin{bmatrix}3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$, B = adj A and C = 3A then, $\frac{\left|adj B \right|}{\left|C \right|}=$

$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{4}$ 1

$A\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix}$ எனில், A =
If $A\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix}$ then, A =

$\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ -1 & 4 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}4 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}4 & -1 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix}7 & 3 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$ எனில், 9I₂ − A =
If $A=\begin{bmatrix}7 & 3 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$ then, 9I₂ − A =

A^-1 $\frac{A^{-1}}{2}$ 3A^-1 2A^-1

$A=\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix}$ மற்றும் $B=\begin{bmatrix}1 & 4 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}$ எனில், | adj (AB) |=
If $A=\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix}$ and $B=\begin{bmatrix}1 & 4 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}$ then, | adj (AB) |=

−40 −80 −60 −20

$P=\begin{bmatrix} 1 & x & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \\ \end{bmatrix}$ என்பது 3×3 வரிசையுடைய அணி A-ன் சேர்ப்பு அணி மற்றும் | A|= 4 எனில், x ஆனது
If $P=\begin{bmatrix} 1 & x & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \\ \end{bmatrix}$ is the adjoint of 3×3 matrix A and |A|= 4 , then x is

15 12 14 11

$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ \end{bmatrix}$ மற்றும் $A^{-1}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$ எனில், a₂₃ -ன் மதிப்பானது
If $A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ \end{bmatrix}$ and $A^{-1}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$ then the value of, a₂₃ is

0 −2 −3 −1

A,B மற்றும் C என்பன நேர்மாறு காணத்தக்கவாறு ஏதேனுமொரு வரிசையில் இருப்பின் பின்வருவனவற்றில் எது உண்மையல்ல?
If A,B and C are invertible matrices of some order, then which one of the following is not true?

adj A =| A| A^-1 adj(AB) = (adj A)( adj B) det A^-1 = (det A)^-1 (ABC)^-1 = C^-1B^-1A^-1

$(AB)^{-1}=\begin{bmatrix} 12 & -17 \\ -19 & 27 \\ \end{bmatrix}$ மற்றும் $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \\ \end{bmatrix}$ எனில், B^-1 =
If $(AB)^{-1}=\begin{bmatrix} 12 & -17 \\ -19 & 27 \\ \end{bmatrix}$ and $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \\ \end{bmatrix}$ then, B^-1 =

$\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 8 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 8 & -5 \\ -3 & 2 \\ \end{bmatrix}$

A^T A^-1 ஆனது சமச்சீர் எனில், A² =
If A^T A^-1 is symmetric, then A² =

A^-1 (A^T)² A^T (A^-1)²

A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி மற்றும் $A^{-1}=\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -1 \\ \end{bmatrix}$ எனில், (A^T)^-1 =
If A is a non-singular matrix such that $A^{-1}=\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -1 \\ \end{bmatrix}$ then, (A^T)^-1 =

$\begin{bmatrix} -5 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & -1 \\ \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ x & \frac{3}{5} \\ \end{bmatrix}$ மற்றும் A^T = A^-1 எனில், x -ன் மதிப்பு
If $A=\begin{bmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ x & \frac{3}{5} \\ \end{bmatrix}$ and A^T = A^-1 then the value of x is

$\frac{-4}{5}$ $\frac{-3}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{4}{5}$

$A=\begin{bmatrix} 1 & tan\frac{\theta }{2} \\ -tan\frac{\theta }{2} & 1 \\ \end{bmatrix}$ மற்றும் AB = I₂ எனில், B =
If $A=\begin{bmatrix} 1 & tan\frac{\theta }{2} \\ -tan\frac{\theta }{2} & 1 \\ \end{bmatrix}$ and AB = I₂ then, B =

$(\cos^{2}\frac{\theta }{2})A$ $(\cos^{2}\frac{\theta }{2})A^{T}$ $(\cos^{2}\theta)I$ $(\sin^{2}\frac{\theta }{2})A$

$A=\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{bmatrix}$ மற்றும் $A(adj A)=\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{bmatrix}$ எனில், k=
If $A=\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{bmatrix}$ and $A(adj A)=\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{bmatrix}$ then, k=

0 Sinθ Cosθ 1

$A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \\ \end{bmatrix}$ மற்றும் λA^-1 = A எனில், λ-ன் மதிப்பு
If $A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \\ \end{bmatrix}$ be such that λA^-1 = A then, λ is

17 14 19 21

$ adj A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \\ \end{bmatrix}$ மற்றும் $ adj B=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{bmatrix}$ எனில், adj (AB) ஆனது
If $ adj A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \\ \end{bmatrix}$ and $ adj B=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{bmatrix}$ then, adj (AB) is

$\begin{bmatrix} -7 & -1 \\ 7 & -9 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -6 & 5 \\ -2 & -10 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -7 & 7 \\ -1 & -9 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -6 & -2 \\ 5 & -10 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ -1 & -2 & -3 & -4 \\ \end{bmatrix}$. -ன் அணித்தரம்
The rank of the matrix $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ -1 & -2 & -3 & -4 \\ \end{bmatrix}$ is

1 2 4 3

$x^{a}y^{b}=e^{m},x^{c}y^{d}=e^{n},\Delta _{1}=\begin{vmatrix} m & b \\ n & d \\ \end{vmatrix},\Delta _{2}=\begin{vmatrix} a & m \\ c & n \\ \end{vmatrix},\Delta _{3}=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix}$ எனில், x மற்றும் y -ன் மதிப்புகள் முறையே
If $x^{a}y^{b}=e^{m},x^{c}y^{d}=e^{n},\Delta _{1}=\begin{vmatrix} m & b \\ n & d \\ \end{vmatrix},\Delta _{2}=\begin{vmatrix} a & m \\ c & n \\ \end{vmatrix},\Delta _{3}=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix}$ then the values of x and y are respectively,

$e^{(\Delta _{2}/\Delta _{1})},e^{(\Delta _{3}/\Delta _{1})}$ $log(\Delta _{1}/\Delta _{3}),log(\Delta _{2}/\Delta _{3})$ $log(\Delta _{2}/\Delta _{1}),log(\Delta _{3}/\Delta _{1})$ $e^{(\Delta _{1}/\Delta _{3})},e^{(\Delta _{2}/\Delta _{3})}$

பின்வருபனவற்றுள் எவை /எவைகள் உண்மையானவை?
(i) ஒரு சமச்சீர் அணியின் சேர்ப்பு அணி சமச்சீராக இருக்கும்.
(ii) ஒரு மூலைவிட்ட அணியின் சேர்ப்பு அணி மூலை விட்ட அணியாக இருக்கும்.
(iii) A என்பது n வரிசையுடைய ஒரு சதுர அணி மற்றும் λ என்பது ஒரு திசையிலி எனில் $adj(λA) = λ^{n} adj(A)$.
(iv) A(adjA) = (adjA)A = |A| I
Which of the following is/are correct?
(i) Adjoint of a symmetric matrix is also a symmetric matrix.
(ii) Adjoint of a diagonal matrix is also a diagonal matrix.
(iii) If A is a square matrix of order n and λ is a scalar, then $adj(λA) = λ^{n} adj(A)$.
(iv) A(adjA) = (adjA)A = |A| I

(i) மட்டும்; Only (i) (ii) மற்றும் (iii); (ii) and (iii) (iii) மற்றும் (iv); (iii) and (iv) (i), (ii) மற்றும் (iv); (i), (ii) and (iv)

ρ(A) = ρ([A | B]) எனில், AX = B என்ற நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
If ρ(A) = ρ([A | B]) then the system AX = B of linear equations is

ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வு பெற்றிருக்கும்; consistent and has a unique solution ஒருங்கமைவுடையது; consistent ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும்; consistent and has infinitely many solution ஒருங்கமைவற்றது; inconsistent

$0\leq \theta \leq \pi $ மற்றும் $x+(sin\theta )y-(cos\theta )z=0,(cos\theta )x-y+z=0,(sin\theta )x+y-z=0$ மற்றும் தொகுப்பானது வெளிப்படையற்றத் தீர்வு பெற்றிருப்பின், θ-ன் மதிப்பு
If $0\leq \theta \leq \pi $ and the system of equations $x+(sin\theta )y-(cos\theta )z=0,(cos\theta )x-y+z=0,(sin\theta )x+y-z=0$ has a non-trivial solution then θ is

$\frac{2\pi }{3}$ $\frac{3\pi }{4}$ $\frac{5\pi }{6}$ $\frac{\pi }{4}$

ஒரு நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பின் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியானது $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & \lambda -7 & \mu +1 \\ \end{bmatrix}$ மற்றும் தொகுப்பானது எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும் எனில்,
The augmented matrix of a system of linear equations is $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & \lambda -7 & \mu +1 \\ \end{bmatrix}$ The system has infinitely many solutions if

$\lambda =7,\mu \neq -5$ $\lambda =-7,\mu = 5$ $\lambda \neq7,\mu \neq -5$ $\lambda =7,\mu = -5$

$A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ மற்றும் $4B=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & x \\ -1 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ என்க. A-ன் நேர்மாறு B எனில், x -ன் மதிப்பு
Let $A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ and $4B=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & x \\ -1 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ If B is the inverse of A, then the value of x is

2 4 3 1

$A=\begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ எனில் adj(adj A) -ன் மதிப்பு
If $A=\begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ then adj(adj A) is

$\begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 6 & -6 & 8 \\ 4 & -6 & 8 \\ 0 & -2 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -3 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 4 \\ \end{bmatrix}$

Results