12th கணிதவியல் 1 மதிப்பெண் வினாக்கள் அத்தியாயம் 10 (சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்)

மேல்நிலை இரண்டாம் ஆண்டு

Mathematics

Ordinary Differential Equations : சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்

In English and Tamil

$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^{1/3}+x^{1/4}=0$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி முறையே
The order and degree of the differential equation $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^{1/3}+x^{1/4}=0$ are respectively

2, 3 3, 3 2, 6 2, 4

y = A cos(x + B), இங்கு A, B என்பன எதேச்சை மாறிலிகள் எனும் சமன்பாட்டைக் கொண்ட வளைவரை குடும்பத்தின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
The differential equation representing the family of curves y = Acos(x + B), where A and B are parameters, is

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0$ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=0$ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$ $\frac{d^{2}x}{dy^{2}}=0$

$\sqrt{sinx}(dx+dy)=\sqrt{cosx}(dx-dy)$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி
The order and degree of the differential equation $\sqrt{sinx}(dx+dy)=\sqrt{cosx}(dx-dy)$ is

1, 2 2, 2 1, 1 2, 1

மையம் (h, k) மற்றும் ஆரம் 'a' கொண்ட எல்லா வட்டங்களின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை
The order of the differential equation of all circles with centre at (h, k) and radius ‘a’ is

2 3 4 1

$y=Ae^{x}+Be^{-x}$, இங்கு A, B என்பன ஏதேனும் இரு மாறிலிகள், எனும் வளைவரைத் தொகுதியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
The differential equation of the family of curves $y=Ae^{x}+Be^{-x}$, where A and B are arbitrary constants is

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=0$ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0$ $\frac{dy}{dx}+y=0$ $\frac{dy}{dx}-y=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத்தீர்வு
The general solution of the differential equation $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ is

xy = k y = k log x y = kx log y = kx

$2x\frac{dy}{dx}-y=3$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு குறிப்பிடுவது
The solution of the differential equation $2x\frac{dy}{dx}-y=3$ represents

நேர்க்கோடுகள் ; straight lines வட்டங்கள் ; circles பரவளையம் ; parabola நீள்வட்டம் ; ellipse

$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$ தீர்வு
The solution of $\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$ is

$y=ce^{\int pdx}$ $y=ce^{-\int pdx}$ $y=ce^{-\int pdy}$ $y=ce^{\int pdy}$

$\frac{dy}{dx}+y=\frac{1+y}{x}$ என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி
The integrating factor of the differential equation $\frac{dy}{dx}+y=\frac{1+y}{x}$ is

$\frac{x}{e^{λ}}$ $\frac{e^{λ}}{x}$ $\lambda e^{x}$ $e^{x}$

$\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$ என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி x எனில், P(x) என்பது
The integrating factor of the differential equation $\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$, then P(x)

$x$ $\frac{x^{2}}{2}$ $\frac{1}{x}$ $\frac{1}{x^{2}}$

$y(x)=1+\frac{dy}{dx}+\frac{1}{1.2}(\frac{dy}{dx})^{2}+\frac{1}{1.2.3}(\frac{dy}{dx})^{3}+ .....$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் படி
The degree of the differential equation $y(x)=1+\frac{dy}{dx}+\frac{1}{1.2}(\frac{dy}{dx})^{2}+\frac{1}{1.2.3}(\frac{dy}{dx})^{3}+ .....$ is

2 3 1 4

p மற்றும் q என்பன முறையே $y\frac{dy}{dx}+x^{3}(\frac{d^{2}y}{dx^{2}})+xy=cosx$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி எனில்,
If p and q are the order and degree of the differential equation $y\frac{dy}{dx}+x^{3}(\frac{d^{2}y}{dx^{2}})+xy=cosx$, when

p<q p=q p>q இவற்றில் எதுவுமில்லை ; p exists and q does not exist

$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=0$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு
The solution of the differential equation $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=0$ is

$y+sin^{-1}x=C$ $x+sin^{-1}y=0$ $y^{2}+2sin^{-1}x=C$ $x^{2}+2sin^{-1}y=0$

$\frac{dy}{dx}=2xy$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு
The solution of the differential equation $\frac{dy}{dx}=2xy$ is

$y=Ce^{x^{2}}$ $y=2x^{2}+C$ $y=Ce^{-x^{2}}+C$ $y=x^{2}+C$

$log(\frac{dy}{dx})=x+y$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத்தீர்வு
The general solution of the differential equation $log(\frac{dy}{dx})=x+y$ is

$e^{x}+e^{y}=C$ $e^{x}+e^{-y}=C$ $e^{-x}+e^{y}=C$ $e^{-x}+e^{-y}=C$

$\frac{dy}{dx}=2^{y-x}$ -ன் தீர்வு
The solution of $\frac{dy}{dx}=2^{y-x}$ is

$2^{x}+2^{y}=C$ $2^{x}-2^{y}=C$ $\frac{1}{2^{x}}-\frac{1}{2^{y}}=C$ $x+y=C$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{\phi (\frac{y}{x})}{\phi ^{'}(\frac{y}{x})}$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு
The solution of the differential equation $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{\phi (\frac{y}{x})}{\phi ^{'}(\frac{y}{x})}$ is

$x\phi (\frac{y}{x})=k$ $\phi (\frac{y}{x})=kx$ $y\phi (\frac{y}{x})=k$ $\phi (\frac{y}{x})=ky$

$\frac{dy}{dx}+Py=Q$ எனும் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி sin x எனில், P என்பது
If sin x is the integrating factor of the linear differential equation $\frac{dy}{dx}+Py=Q$, then P is

log sin x cos x tan x cot x

வரிசை n மற்றும் n+1 கொண்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் பொதுத் தீர்வுகளில் உள்ள மாறத்தக்க மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை முறையே
The number of arbitrary constants in the general solutions of order n and n + 1 are respectively

n-1, n n, n+1 n+1, n+2 n+1, n

மூன்றாம் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்டத் தீர்வில் உள்ள மாறத்தக்க மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை
The number of arbitrary constants in the particular solution of a differential equation of third order is

3 2 1 0

$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y+1}{x+1}$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி
Integrating factor of the differential equation $\frac{dy}{dx}=\frac{x+y+1}{x+1}$ is

$\frac{1}{x+1}$ $x+1$ $\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ $\sqrt{x+1}$

ஏதேனும் ஒரு வருடம் t - ல் உள்ள P - ன் பெருக்க வீதமானது மக்கள் தொகைக்கு விகிதமாக அமையும் எனில், பின்னர்
The population P in any year t is such that the rate of increase in the population is proportional to the population. Then

$P=Ce^{kt}$ $P=Ce^{-kt}$ $P=Ckt$ $P=C$

t எனும் நேரத்திற்குப் பிறகு மீதமுள்ள ஒரு பொருளின் அளவு P ஆகும். பொருள் ஆவியாகும் வீதமானது அந்நேரத்தில் மீதமிருக்கும் பொருளின் அளவிற்கு விகிதமாக அமைந்துள்ளது எனில், பின்னர்
P is the amount of certain substance left in after time t. If the rate of evaporation of the substance is proportional to the amount remaining, then

$P=Ce^{kt}$ $P=Ce^{-kt}$ $P=Ckt$ $Pt=C$

$\frac{dy}{dx}=\frac{ax+3}{2y+f}$ எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்குமானால், a - ன் மதிப்பு
If the solution of the differential equation $\frac{dy}{dx}=\frac{ax+3}{2y+f}$ represents a circle, then the value of a is

2 -2 1 -1

y = f(x) எனும் வளைவரையின் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியிடத்து சாய்வு $\frac{dy}{dx}=3x^{2}$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் வளைவரையானது (-1,1) புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது எனில், வளைவரையின் சமன்பாடு
The slope at any point of a curve y = f (x) is given by $\frac{dy}{dx}=3x^{2}$ and it passes through (-1,1). Then the equation of the curve is

$y=x^{3}+2$ $y=3x^{2}+4$ $y=3x^{2}+4$ $y=x^{3}+5$

Results